ＬＲ回路のスイッチング動作の計算

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はじめに

僕は電気屋ではないので学校で本格的な電気の勉強をしたことは無いのですが趣味でロボットを作りたくて勉強しています。そして、ロボット作って動いてくれるぐらいには回路の事を理解できたかなと思っています。

むしろ、自分でロボット作るという事になると、かなりの割合で電気的なことも検討することになります。じつは、恥ずかしながら、そのレベルでエレクトロニクスの授業をやったりしておりました。（もうしわけない）

今日の話題のきっかけは、つい最近Ｔｗｉｔｔｅｒでコイルに電流を流す計算式の手書きのメモの写真が掲載されてたことがありました。どなたか存じ上げず申し訳ないのですが、いつもだったらいいねとリツイートしそうなネタだったのですがその時は眠たかったのか、せずじまいで、先ほど探してみたのですが見つけられず残念でした。それが気になって自分でＬＲ回路の過渡応答を整理しておきたいとむずむずしていました。

しかも、ＬＲ回路の挙動についてはモータがＬＲ回路そのものなので理解しておくとロボットの制御にものすごく役にたつと思うんです。そこで、今日は正しいかは微妙にわからないんですが、長いこと自分で考えてきたことをお話ししようと思っております。

はじめに
ＬＲスイッチング回路
回路方程式を解いて過渡応答を求める
スイッチをＯＦＦにしてからの過渡応答
おわりに

ＬＲスイッチング回路

上の図が今考えようとしている、ＬＲスイッチング回路です。インダクタンスがＬで抵抗がＲです。コイルには必ず抵抗成分Ｒがあるはずなので、上の回路図は実際の回路に置き換えたときにはコイル一個だけ存在している回路と思っています。

今回はスイッチをオンしたときに、この回路に流れる電流はどうなるのかコイルの両端の電圧はどうなるのかを考えていきたいと思います。

回路方程式を解いて過渡応答を求める

電源の電圧 $u$ 、回路に流れる電流 $i$ 、コイルの抵抗 $R$ 、コイルのインダクタンス $L$ としますと電流に関する回路の方程式は次のようになります。

$\displaystyle{ L\frac{di}{dt} + Ri = u }$

ここで初期値０で上式をラプラス変換してみましょう。

$\displaystyle{ LsI + RI = \frac{u}{s} }$

$I$ について解くと

$\begin{eqnarray} I &=& \frac{u}{s(Ls+R)}\\ &=& \frac{\frac{u}{L}}{s(s+\frac{R}{L})} \end{eqnarray}$

部分分数展開します。

$\displaystyle{ I = \frac{K_1}{s} + \frac{K_2}{s+\frac{R}{L}} }$

係数を求めます。

$\displaystyle{ K_1 = \lim_{s \to 0} \frac{\frac{u}{L}}{s+\frac{R}{L}}=\frac{u}{R} }$

$\displaystyle{ K_2 = \lim_{s \to -\frac{R}{L}} \frac{\frac{u}{L}}{s}=-\frac{u}{R} }$

係数が求められましたので、電流の式に入れます。

$\displaystyle{ I = \frac{u}{R}\frac{1}{s} -\frac{u}{R} \frac{1}{s+\frac{R}{L}} }$

逆ラプラス変換します。

$\begin{eqnarray} i(t) = \frac{u}{R}\ -\frac{u}{R} e^{-\frac{R}{L}t} &=&\frac{u}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right) \end{eqnarray}$

このように簡単な1次遅れの応答式が得られました。

電流の値の最終値は $\frac{u}{R}$ になることが判りました。

以上のラプラス変換での導出は制御の基礎の基礎として以前まとめてみましたのでそちらもご参照ください。

rikei-tawamure.com

求められた応答から数値を当てはめてグラフを書いてみます。数値は適当ですが抵抗は０．１Ω、インダクタンスは３００μＨ、電源は５Ｖにしてみました。

ここまで来たら、コイルの両端電圧を計算してから、スイッチをＯＦＦにする話に突入するつもりだったんですがふと思考が停止してしまいました。

想定している状況は下のように抵抗とインダクタンスがひと塊で実際のコイルだと思っています。そうすると、コイルの両端にオシロスコープつなげても、出てくるのは電源電圧のフラットな波形ではないかと・・・・空想上の回路図ではコイルはインダクタンスと抵抗成分を直列接続しています。上記の計算もそれで行いました。したがって空想上は抵抗の両端の電圧やインダクタンスの両端の電圧を計算して見せることはできます。でも、実際にコイルに電源を接続する実験をしたら、測れるのは電源電圧です。

しばらく考え、回路の導線にあるわずかな抵抗か、電池の内部抵抗を考慮してみることにしました。電池の内部抵抗を考えた図を下に示します。

今回は先ほどの計算をそのまま使いたいので、電池の内部抵抗を０．０１Ω、コイルの抵抗を０．０９Ωとしてみました。

コイルの両端電圧は、電池の内部抵抗を $r$ とすると電源電圧から内部抵抗での電圧降下分を引けばよいので、以下の式で計算できます。

$\displaystyle{ v_c = u- r i(t) }$

これでグラフを描いてみました。

ここまでで、理解したのは電流は1次遅れの応答をするので、電圧もそうなると言う変な先入観が、コイルの両端の電圧が電源と同じでフラットなわけがないという思い込みでした。結果的にそれは正しいのだと考えていますが、内部抵抗が今回の計算よりもさらに小さい場合は、このように時間とともに降下する様子はわからないかもしれません。ですのでほぼフラットな波形が出るということもあるかと思います。実験してみたいですね。（いつか追記したいと思います。）

スイッチをＯＦＦにしてからの過渡応答

つづいてスイッチをＯＦＦにした後の過渡応答を計算してみたいと思います。回路の方程式を立てようとすると困ったことが判りました。 スイッチＯＦＦは回路が閉じていないので方程式が立てられない・・・ どうしようかひたすら考えましたが、ＯＦＦにするとスイッチの接点同士が物理的に離れるわけです。絶縁しているのですが、絶縁抵抗という言葉があるなあとふと思い、もの凄く大きな抵抗値の抵抗が接続しているとして回路方程式を立ててみようと思いいたり、以下それを展開します。以下の図は絶縁抵抗を加えたＬＲ回路のとなります。