はじめに
こんにちは、こうへいです。
いつの間にか記事数が５０記事になりました！
COVID-19に関する情報が気になりブログ更新をサボっていて申し訳ないのですが 今日は前回に引き続き、３体問題について見ていきます。
取り扱う話題のベースはアポロ８号です。
１９６８年に打ち上げられたアポロ８号は今となっては初めて月面着陸を成功させた１１号に比べて 有名ではないかもしれませんが、人類が初めて地球以外の天体の周りを周回しました。 宇宙飛行士自体も成功率を５０％と考えていたと言う話も伝わっています。 アポロ計画全体もそうですが、まさに「奇跡」的な成功だったと言えます。
次の写真はアポロ８号が撮影した「地球の出」で当時最も有名な写真と言われました。
３体問題
前回も申しましたが、２体の問題は解析的に解けるのですが、３体の問題以上は解けないので 数値計算に頼ることになります。
幸いにも、前回作ったプログラムはいくらでも天体を増やせるので、地球、月にに加えて アポロ８号（司令船・機械船）を入れたいと思います。
３体の場合は、下の図のように，それぞれが他の２つの天体からの万有引力を受けます。
フリーフライトで地球に戻ってくる
歴史ではアポロ８号宇宙船が地球を飛び立ち，月に行き，月を周回して，また地球に戻ってきます． 月を周回するには，月の近くで，ロケットを噴射して，月軌道に乗せないとダメなのですが， 今回の簡易的な計算では，地球を飛び立つ初速と角度をうまく調整して，地球に帰れるようにします． 途中で，軌道修正用のロケットの噴射などは一切行わない設定です．
地球を飛び立ったアポロ宇宙船は，ロケットの噴射が終わり推進力が失われると，地球の引力に引かれ，徐々にスピードが落ちていきます． 推進力が失われたときに適度なスピードになっていれば，地球に落ちずに月に向かうことができます．
運よく，地球に逆戻りにならずに，やがて， 月に近づくと，今度は月の引力につかまり，月に落ちていきます．
その際に，適度な速度があると，月に落下せずに，月の外周を回って（スイングバイ），また地球に戻ってきます．
実際のアプロ８号はフリーフライト（飛行途中に軌道修正しない）ではないですが，当時のロゴマークは８の字飛行になっています．
フリーフライトの飛行シミュレーション結果
総当たり法で解を見出す．
初速度と発射角の与え方によっては，地球に落ちたり，月を素通りしたり，大変シビアなものです． あまり賢くないやり方ですが，総当たり法を採用してみました．
総当たりで解を探すのですが，ある範囲を均等に探索するのではなく，初速度と角度をある範囲でランダムに決めて １００回計算を行いました．
１００回の試行の中でよさそうな結果に対して，範囲を狭めて，同じようにランダムに値を決めて，同様に１００回の計算を行い 良い結果を選び出しました．
１枚目のグラフは青い点が地球，緑の円弧が月の軌道，赤い線がアポロの軌道です．
２枚目はアポロの地球からの距離の時間的な変化を示しています．
３無い目はアポロの速度の時間的変化です．月に近づいたときにスイングバイして，少し速度を増やせていることがわかります．
次は計算結果をアニメーションで示します．
中心の青い点は地球で小さい緑の点が月です．地球と月の距離，地球と月の大きさは実際の比率と合っています． 赤い点はアポロ宇宙船ですが，こちらは比率を合わせると見えない点になっているので，実際の比率と違いかなり大きめに描かれています．
Pythonのソースコード
参考までにソースコードを紹介します．
おわりに
今日はアポロ８号の月旅行を題材にした，地球と月と宇宙船に作用しあう万有引力によって， それぞれの天体がどのような運動をするのか計算してみました．
初速と角度の与え方で，いろいろな飛び方をするのですが，上手に値を選ぶと，示したように 宇宙船が８の字を描き出発点に戻ってくるような面白い結果が得れれます．
更に太陽を加えて，太陽の周りをまわる地球からアポロが月に向かうような計算ができればいいなと妄想しています．
家にいなければならない昨今ですので，宇宙船の計算などして，宇宙のロマンに浸ってみるのも 良いのではないでしょうか．
では，また！
